C++怎么实现AVL树(avl,C++,开发技术)

AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树

• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

• 平衡因子的计算是右子树的高度减去左子树的高度的差值结果

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log N) ，搜索时间复杂度O( log N)。

AVL树节点的定义

template<classK,classV>structAVLTreeNode{ AVLTreeNode<K,V>*_left;//左孩子 AVLTreeNode<K,V>*_right;//右孩子 AVLTreeNode<K,V>*_parent;//父亲结点 pair<K,V>_Kv;//键值 int_bf;//平衡因子 //构造函数 AVLTreeNode(constpair<K,V>&Kv) :_left(nullptr) ,_right(nullptr) ,_parent(nullptr) ,_Kv(Kv) ,_bf(0) {}};

AVL树的定义

template<classK,classV>classAVLTree{ typedefAVLTreeNode<K,V>Node;public: AVLTree() :_root(nullptr) {}private: Node*_root;};

AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入

过程可以分为两步：

按照二叉搜索树的方式插入新节点

与根结点比较如果比根大就往右子树插入，如果比根小就往左子树插入，直到走到合适的位置就插入，由于这里是三叉链所以需要处理结点之间的关联关系

boolInsert(constpair<K,V>&kv) { if(!_root)_root=newNode(kv);//初始根节点 Node*cur=_root; Node*parent=_root; while(cur) { Kkey=cur->_Kv.first; if(key>kv.first)//比根结点的key值小， { parent=cur; cur=cur->_left; } elseif(key<kv.first)//比根结点的key值大， { parent=cur; cur=cur->_right; } else { returnfalse;//插入失败 } } //开始插入 cur=newNode(kv); Node*newNode=cur; if(parent->_Kv.first>newNode->_Kv.first)//新插入的结点key值比根节点小就插入到左子树 { parent->_left=newNode; newNode->_parent=parent; } else //新插入的结点key值比根节点大就插入到右子树 { parent->_right=newNode; newNode->_parent=parent; } }

调整节点的平衡因子

当左右子树的高度发生了变化，那么就需要对父亲及祖先路径上的所有结点的平衡因子进行调整

//更新祖先路径的所以结点的平衡因子 /* 总结五种情况： 1、新增结点出现在父结点的左边，平衡因子减减 2、新增结点出现在父结点的右边，平衡因子加加 3、父亲的平衡因子为0就不再调整 4、父亲结点的平衡因子为1或者-1继续调整 5、父亲结点的平衡因子为2或者-2那就旋转 */ while(parent) { if(parent->_left==cur)parent->_bf--;//1、 if(parent->_right==cur)parent++; //2、 if(parent->_bf==0)break; //3、 if(parent->_bf==-1||parent->_bf==1)//4、 { cur=parent; parent=parent->_parent; } if(parent->_bf==-2||parent->_bf==2)//5、 { //旋转 if(parent->_bf==-2) { if(cur->_bf==-1)RotateR(parent);//左边高，右单旋 elseRotateLR(parent);//左右双旋 } else//右parent->_bf==2 { if(cur->_bf==1)RotateL(parent);//右边高左单旋转 elseRotateRL(parent);//右左双旋 } break; } }

AVL树的四种旋转

旋转的原则是遵循搜索树的规则，尽量让两边平衡

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

右单旋

新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

不管是哪种单旋都得考虑两种情况：

1、局部旋转，如果parent并不是树的_root结点，那么就需要调整subL和根结点的关系

2、独立旋转，parent就是树的_root结点，那么subL就是旋转后的根节点了

3、subLR有可能为null

//右单旋voidRotateR(Node*parent){ Node*subL=parent->_left; Node*subLR=subL->_right; parent->_left=subLR; if(subLR)subLR->_parent=parent;//防止subLR为nullptr subL->_right=parent; Node*parent_parent=parent->_p arent;//指针备份 parent->_parent=subL; if(_root==parent)//如果parent就是树的根 { _root=subL;//subL取代parent _root->_parent=nullptr; } else//如果parent并不是树的根 { if(parent_parent->_left==parent)parent->_left=subL; elseparent_parent->_right=subL; subL->_parent=parent_parent;//subL去做parent_parent的孩子 } //调节平衡因子 subL->_bf=parent->_bf=0;}

左单旋

新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

跟右单旋几乎是一样的做法

1、局部旋转，如果parent并不是树的_root结点，那么就需要调整subL和根结点的关系

2、独立旋转，parent就是树的_root结点，那么subL就是旋转后的根节点了

3、subRL有可能为null

//左单旋voidRotateL(Node*parent){ Node*subR=parent->_right; Node*subRL=subR->_left; parent->_right=subRL; if(subRL)subRL->_parent=parent; subR->_left=parent; Node*parent_parent=parent->_parent; parent->_parent=subR; if(_root==parent) { _root=subR; _root->_parent=nullptr; } else { if(parent_parent->_left==parent)parent_parent->_left=subR; elseparent_parent->_right=subR; subR->_parent=parent_parent; } subR->_bf=parent->_bf=0;}

左右双旋

新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋

1、新增结点在b或c都会影响左右子树的高度，从而引发双旋

h > 0情况一：

h > 0，情况二：

h == 0情况三：

//左右旋转 voidRotateLR(Node*parent) { Node*subL=parent->_left; Node*subLR=subL->_right; intbf=subLR->_bf; RotateL(parent->_left); RotateR(parent); if(bf==-1)//h>0，新增结点在b { parent->_bf=1; subLR->_bf=0; subL->_bf=0; } elseif(bf==1)//h>0，新增结点在c { subL->_bf=-1; subLR->_bf=0; parent->_bf=0; } elseif(bf==0)//h=0 { parent->_bf=0; subLR->_bf=0; subL->_bf=0; } }

右左双旋

右左双旋跟左右双旋的情况基本是类似的，这里就不列举多种情况了

新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋

 //右左旋转 voidRotateRL(Node*parent) { Node*subR=parent->_right; Node*subRL=subR->_left; intbf=subRL->_bf; RotateR(parent->_right); RotateL(parent); if(bf==-1)//h>0，新增结点在b { parent->_bf=0; subR->_bf=1; subRL->_bf=0; } elseif(bf==1)//h>0，新增结点在c { parent->_bf=-1; subR->_bf=0; subRL->_bf=0; } elseif(bf==0)//h=0 { subR->_bf=0; subRL->_bf=0; parent->_bf=0; } }

查找

Node*Find(constK&key){ Node*cur=_root; while(cur) { if(key>cur->_Kv.first)cur=cur->_right;//左子树 elseif(key<cur->_Kv.first)cur=cur->_left;//右子树 elsereturncur; }}

其他接口

判断是不是平衡二叉树

intheight(Node*root)//求高度{ return!root?0 :max(height(root->_left), height(root->_right))+1;}void_Inorder(Node*root)//中序遍历{ if(!root)return; _Inorder(root->_left); printf("%d:%d\n",root->_Kv.first,root->_Kv.second); _Inorder(root->_right);}//判断是不是平衡二叉树boolIsAVLTree(){ return_IsAVLTree(_root);}bool_IsAVLTree(Node*root){ if(!root)returntrue; intleft=height(root->_left); intright=height(root->_right); //检查平衡因子 if(right-left!=root->_bf) { printf("错误的平衡因子%d:%d\n",root->_Kv.first,root->_Kv.second); returnfalse; } return(abs(right-left)<2) &&_IsAVLTree(root->_left) &&_IsAVLTree(root->_right);}

析构函数

//析构函数~AVLTree(){ Destroy(_root); _root=nullptr;}voidDestroy(Node*root)//后序销毁结点{ if(!root)return; Destroy(root->_left); Destroy(root->_right); deleteroot;}

拷贝构造

Node*copy(Node*cp){ if(!cp)returnnullptr; Node*newnode=newNode(cp->_Kv); newnode->_left=copy(cp->_left); newnode->_right=copy(cp->_right); returnnewnode;}//拷贝构造AVLTree(constAVLTree<K,V>&job){ if(&job!=this) _root=copy(job._root);}

拷贝赋值

voidoperator=(AVLTree<K,V>tmp){ if(&tmp!=this) swap(tmp._root,this->_root);}

重载operator[ ]

V&operator[](constK&key){ return(Insert(make_pair(key,V())).first)->_Kv.second;}

AVL树的完整实现代码博主已经放在 git.