如何用C++实现搭积木小游戏(C++,编程语言)

小明对搭积木非常感兴趣。他的积木都是同样大小的正立方体。
在搭积木时，小明选取 m 块积木作为地基，将他们在桌子上一字排开，中间不留空隙，并称其为第0层。
随后，小明可以在上面摆放第1层，第2层，……，最多摆放至第n层。摆放积木必须遵循三条规则

规则1：每块积木必须紧挨着放置在某一块积木的正上方，与其下一层的积木对齐；

规则2：同一层中的积木必须连续摆放，中间不能留有空隙；

规则3：小明不喜欢的位置不能放置积木。

其中，小明不喜欢的位置都被标在了图纸上。图纸共有n行，从下至上的每一行分别对应积木的第1层至第n层。每一行都有m个字符，字符可能是‘.'或‘X'，其中‘X'表示这个位置是小明不喜欢的。
现在，小明想要知道，共有多少种放置积木的方案。他找到了参加蓝桥杯的你来帮他计算这个答案。
由于这个答案可能很大，你只需要回答这个答案对1000000007(十亿零七)取模后的结果。
注意：地基上什么都不放，也算作是方案之一种。

输入格式：
数据的第一行有两个正整数n和m，表示图纸的大小。
随后n行，每行有m个字符，用来描述图纸 。每个字符只可能是‘.'或‘X'。

输出格式：
一个整数，表示答案对1000000007取模后的结果。

输入样例1：

2 3

..X

.X.

输出样例1：

4

输入样例2：

3 3

..X

.X.

...

输出样例2：

16

解题思路：

首先先推导出递推式，观察题目：

用代码表示即为：

for(intc=1;c<a;c++){ for(intd=b;d<m;d++){ dp[i][a][b]+=dp[i-1][c][d]; }}

意思是
在第i层的a到b长度放置积木的可能数=在i-1层的所有包含a到b的长度的积木的可能数的和。

除了单纯的判断递推式以外，还需要考虑一种特殊情况，就是积木放置的长度中存在X，即小明不想放的位置，那么就不需要进行递推，直接返回0。
判断[a,b]是否存在X，可以用前缀和来判断，节省时间。
前缀和初始化为：

s[i][j]=s[i][j-1]+(temp=='X');

推导出递推式以后可以很容易的写出代码：

#include<iostream>usingnamespacestd;constintN=30;intn,m;intdp[30][30][30];ints[30][30];intcnt=1;intmain(){ cin>>n>>m; getchar(); for(inti=n;i>0;i--){//初始化前缀和 for(intj=1;j<=m;j++){ chartemp=getchar(); s[i][j]=s[i][j-1]+(temp=='X'); } getchar(); } dp[0][1][m]=1;//第0层，长度从1到m的积木有一种可能 for(inti=1;i<=n;i++){//第i层 for(inta=1;a<=m;a++){ for(intb=a;b<=m;b++){ if(s[i][b]-s[i][a-1]!=0){//a到b区间存在X dp[i][a][b]=0; continue; } for(intc=1;c<=a;c++){ for(intd=b;d<=m;d++){ dp[i][a][b]+=dp[i-1][c][d]; } } cnt+=dp[i][a][b];//记录数量 } } } cout<<cnt; return0;}

优化

但是仔细一想，五个for循环无法通过最后50%的测试点，所以需要进行优化，观察最内层的两个c，d的for循环可知，有如下图像：

实际上最内层的两个循环就是在求第i-1层的红色区域面积。
那我们再利用二维的前缀和进行存储，那就可以优化掉两个循环，从而使时间复杂度降低，通过最后的测试点。

#include<iostream>usingnamespacestd;constintN=30;constintmod=1e9+7;intn,m;intdp[30][30][30];ints[30][30];//用来判断是否存在Xintsum[30][30];//指的是左下角所有dp[i][][]的和intcnt=1;voidget_fixsum(inti){ //更新第i层的前缀和数组 for(inta=1;a<=m;a++){ for(intb=1;b<=m;b++){ sum[a][b]=(sum[a][b-1]+sum[a-1][b]-sum[a-1][b-1]+dp[i][a][b])%mod; } }}intmain(){ cin>>n>>m; getchar(); for(inti=n;i>0;i--){ for(intj=1;j<=m;j++){ chartemp=getchar(); s[i][j]=s[i][j-1]+(temp=='X'); } getchar(); } dp[0][1][m]=1;//第0层，长度从1到m的积木有一种可能 get_fixsum(0); for(inti=1;i<=n;i++){//层数 for(inta=1;a<=m;a++){ for(intb=a;b<=m;b++){ if(s[i][b]-s[i][a-1]!=0){//a到b区间存在X dp[i][a][b]=0; continue; } dp[i][a][b]=(sum[a][m]-sum[0][m]-sum[a][b-1]+sum[0][b-1])%mod; cnt=(cnt+dp[i][a][b])%mod; } } get_fixsum(i); } cout<<(cnt+mod)%mod;//防止出现负数 return0;}